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Fulltext:




J. Gamst 30. November 2011
Vorlesung im WS 2011/12
Klassenkörper Theorie
V: Montag 10-12 in 6340, Donnerstag 14-16 in 7200
Ü: Mittwoch 12-13 in 7050
In der Klassenkörper Theorie geht es um abelsche Erweiterungen K/k. Im
"
globalen Fall" ist der Grundkörper k ein Zahlkörper, d.h. endlich über Q oder ein
Funktionenkörper, d.h. endlich über einem Körper der Form Fq(X), im
"
lokalen
Fall" ist k ein p-adischer Körper.
In der Algebraischen Zahlentheorie lernt man, dass es zu Primidealen p in k und
P über p in K Frobeniuselemente (p, K/k) in Gal (K/k) gibt, welche den Automorphismus x xN p der Restklassenerweiterung KP/kp induzieren - sogar eindeutig, wenn p unverzweigt ist. Wenn überdies die Erweiterung abelsch ist, dann
hängt das Frobeniuselement nicht von der Wahl des Primideals über p ab, und
durch multiplikative Fortstsetzung entsteht der Artin- Homomorphismus
K/k : I() Gal(K/k),
der definiert ist auf der Gruppe I() der zur Diskriminate von K/k teilerfremden gebrochenen Ideale. Aus nichttrivialen Gründen, z.B auf Grund des
Satzes von Cebatarev, ist K/k surjektiv.
Es ist nun entscheidend, dass man Zyklen c betrachtet, die enthalten: das
sind endliche Kollektionen von Primidealpotenzen pmp und reellen Einbettungen
: k R.
K/k ist dann auch auf I (c) definiert, und für geeignete c ist der Kern von K/k
auf I(c) von der Form PcN(c) - dabei ist N(c) die Gruppe der Normen der zu c
teilerfremden gebrochenen Ideale von K und Pc die Gruppe der gebrochenen
Hauptideale () mit 1 mod c, d.h.vp( - 1) mp für p in c, () > 0 für
in c. Also: I(c)/PcN(c) = Gal(K/k)
Diese Aussage heisst Artinsches Reziprozitätsgesetz, derartige Zykel nennt man
Führer des Artin-Homomorphismus. Im Spezialfall einer quadratischen Erweiterung
K/Q mit Diskriminante d ist Frob (p, K/R) für p d durch das Legendre Symbol
(d
p
) gegeben, also K/k(x) = (d
x
) für x teilerfremd zu d.
Ein Führer ist in diesem Fall |d|, und das Artinsche Reziprozitätsgesetz liefert,
dass (d
x
) nur von |d| abhängt - woraus man sofort das Quadratische Reziprozitätsgesetz gewinnt.
Der Existenzsatz der Klassenkörper Theorie besagt, dass es zu jedem Zykel c auch
eine Erweiterung Hc/k gibt, sodass man einen Isomophismus
: I (c)/PcN(c) = Gal(Hc/k) hat.
Hc ist die maximale abelsche Erweiterung von k, in der alle Primhauptideale in
Pc vollständig zerfallen.
Insbesondere bei c = (1) : H(1) ist die grösste abelsche Erweiterung von k, in der
alle
"
Primstellen"( Primideale oder Einbettung nach C) unverzweigt sind. Man
hat dann Gal(H(1)/k) = Klassengruppe von k und
H(1) heisst Hilbertscher Klassenkörper von k. Natürlich gilt H(1) = Q für
k = Q, aber schon bei imaginärquadratischen K/Q sind die Hilbertschen Klassenkörper
ein faszinierender Gegenstand, der bereits im 19. Jahhundert Anlass zu tiefsinnigen Untersuchungen gab.
Literatur
J.W.S Cassels/A. Fröhlich eds:
"
Algebraic Number Theory"
Academic Press 1967
dort insbesondere
J.P Serre:
"
Local Class Field Theory"
J. Tate:
"
Global Class Field Theory"
H. Hasse:
"
History of Class Field Theory"
H. Cohen/P. Stevenhagen:
"
Computational Class Field Theory"
in MSRI 44 :
"
Algorithmic Algebraic Number Theory"
Cambridge Univ. Press 2008
S. Lang:
"
Algebraic Number Theory"
Addison-Wesley 1970
J. Neukirch:
"
Algebraische Zahlentheorie"
Springer 1992
J.-P. Serre:
"
Corps Locaux"
Paris 1962
2

Informations to the Winter2011-Lecture "Klassenkörper Theorie"
Ergänzende Infos zur WiSe2011/12-Lehrveranstaltung "Klassenkörper Theorie"


 



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