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Fulltext:




J. Gamst 29.08.2012
Vorlesung im WS 2012 / 13
Endliche einfache Gruppen
V: Montag 10-12 und Donnerstag 14-16 in MZH 7200
Ü: Mittwoch 12-13.30 in MZH 7050
Eine endliche Gruppe ist im technischen Sinn einfach, wenn sie sich nicht durch Übergang
zu einem homomorphen Bild vereinfachen lässt, m.a.W. wenn sie keine nichttrivialen
Normalteiler besitzt. Jede endliche Gruppe G hat eine Kompositionsreihe
G= G0 > G1 >G2 ...>Gn= {e},
wobei Gi+1 ein Normalteiler in Gi und Gi/Gi+1 jeweils eine einfache Gruppe ist. Man kann
daher die einfachen Gruppen als die Bausteine ansehen, aus denen alle endlichen
Gruppen entstehen.
Ein großes Projekt im vorigen Jahrhundert war es, die endlichen einfachen Gruppen zu
klassifizieren. Das ist schließlich gelungen: es gibt neben den zyklischen Gruppen von
Primzahlordnung und den alternierenden Gruppen An für unendliche Serien:5n
von klassischen Gruppen über endlichen Körpern, wie z.B. die projektiven linearen
Gruppen ( )n q (außerPSl F 2 2 3( )PS Sl F und 2 3 4( )PS Al F )
von Ausnahmegruppen von Lie-Typ über endlichen Körpern
sowie 26 sporadische einfache Gruppen, die sich nicht in die obigen Serien einordnen
lassen.
Der Beweis der Klassifikation ist das Werk vieler Mathematiker und verstreut über eine
Unzahl von Zeitschriftenartikeln, man schätzt den Gesamtumfang auf über 1000 Seiten.
Lange Zeit galt der Beweis als unvollständig, vor einigen Jahren scheinen aber die
größten Lücken geschlossen worden zu sein.
Im Kurs werde ich mich nicht an diesem Beweis versuchen, sondern möglichst viele der
endlichen einfachen Gruppen vorstellen. Dabei werde ich soweit wie möglich elementar
bleiben und nur Tatsachen wie die Sylowsätze, die in jedem Algebrakurs behandelt
werden, als bekannt voraus setzen. Als Orientierung und Vorbild dient mir
Robert A. Wilson: ,,The Finite Simple Groups"
Springer 2009.

Informations to the Winter2012/13-Lecture "Einfache endliche Gruppen"
Ergänzende Infos zur WiSe2012/13-Lehrveranstaltung "Einfache endliche Gruppen"


 



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