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Fulltext:




J. Gamst 29.08.2013
Vorlesung im WS 2013 / 14
Endlichdimensionale Algebren über Körpern
V: Montag 10-12 und Donnerstag 14-16 in MZH 6340
Ü: Mittwoch 12-14 in MZH 6340
Eine Algebra über einem Körper K ist ein K-Vektorraum A mit einer K-bilinearen Multiplikation
A x AA, geschrieben a b . Im Kurs geht es um assoziative Algebren mit Eins, d.h. es soll
zusätzlich gelten:
( ) ( )a b c a b c = und 1 1a a a = =
Im kommutativen Fall gibt es eine enge Beziehung zur Galois Theorie, darauf werde ich jedoch
nicht näher eingehen.
Im allgemeinen Fall spielen die Divisionsalgebren (in der alle Elemente 0 ein Inverses haben)
eine besondere Rolle ­ das erste Beispiel ist die Quaternionenalgebra über K = .
Sie gehören in den Kontext der Zentralen Einfachen Algebren, von denen sich herausstellt, dass
sie jeweils eine Matrixalgebra über einer Divisionsalgebra sind.
Die Zentralen Einfachen Algebren sind von großer Bedeutung in der Algebraischen Zahlentheorie,
es gibt aber auch eine angewandte Seite. In dem gerade erschienenen Werk
G. Berhuy/ F. Oggier: ,,An Introduction to Central Simple Algebras and Their Applications to
Wireless Communication"
wird auseinandergesetzt, wie man sie zur Konstruktion von Codes benutzen kann.
In der Strukturtheorie der Algebren arbeitet man mit linearen Darstellungen, d.h. linearen
Operationen A x V V auf K-Vektorräumen V, die zu Homomorphismen :AGL(V) per
( )( )a x a x = führen.
Das ist dann ein großes Gebiet, welches insbesondere die Darstellungstheorie endlicher Gruppen
enthält, denn zu einer Gruppe G hat man ja die Gruppenalgebra K[G] (mit den Elementen von G
als Basis).
Hierzu gibt es eine schöne Einführung
P. Etingof et al: ,,Introduction to Representation Theory".
Sie gipfelt im Satz von P. Gabriel über lineare Darstellungen von Köchern. Ein Köcher ist ein
gerichteter Graph, bestehend aus Ecken und Pfeilen p:s t, welche zwei Ecken verbinden.
Einem Köcher wird dann eine Algebra so zugeordnet, dass die linearen Darstellungen der Algebra
durch eine Kollektion von Vektorräumen eV zu den Ecken e und linearen Abbildungen :p s tf V V
zu den Pfeilen p gegeben sind (wobei dem Zusammensetzen von Pfeilen die Komposition der
zugeordneten linearen Abbildungen entsprechen soll).
Der Satz besagt dann: Ein Köcher hat genau dann nur endlich viele unzerlegbare Darstellungen,
wenn der zu Grunde liegende Graph ein Dynkin-Diagramm vom Typ 6 7 8, , , ,n nA D E E E ist.
Im Kurs werde ich die oben angesprochenen Aspekte behandeln, den Satz von Gabriel allerdings
nur, wenn die Zeit dafür reicht.
Vorkenntnisse: Lineare Algebra und Algebraisches Denken. Tensorpunkte von Moduln etc. werden
im Kurs entwickelt.
Es kann ein Übungsschein erworben werden, auf Wunsch gibt es eine Modulprüfung
(Wahlpflichtfach).
I`ll be happy to teach the course in English if that is what the participants desire.
Näheres bei J. Gamst
MZH 7110; gamst@math.uni-bremen.de

Informations to the Winter2013/14-Lecture "Endlichdimensionale Algebren über Körpern"
Ergänzende Infos zur WiSe2013/14-Lehrveranstaltung "Endlichdimensionale Algebren über Körpern"


 



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