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Fulltext:




J. Gamst 01.04.14
Vorlesung im SS 2014
Elliptische Kurven über : Klassische Theorie
V: Mo 10-12 , Do 10-12 in MZH 6340
Ü: Mi 12-14 in MZH 6340
Elliptische Kurven trugen ihren Namen, weil bei der Berechnung der Bogenlänge von
Ellipsen Integrale der Form
1 2) 3( )( ( )
dx
x e x e x e- - -

auftreten; deren Umkehrfunktionen stellen sich als doppelt periodische meromorphe
Funktionen heraus, welche der Differentialgleichung
2
1 2 3( ´) ( )( )( )y y e y e y e= - - -
genügen und so eine Parametrisierung ( ( ), ´( ))y z y z der komplexen Punkte der dann
elliptisch genannten Kurve ( )E 2
1 2) 3( )( ( )y x e x e x e= - - - liefern. Eine fundamentale
Eigenschaft dieser Kurven ist es, dass man ein algebraisches Additionsgesetz für ( )E hat,
so dass die Punkte mit Koordinaten in einem Körper K eine abelsche Gruppe E(K) bilden.
Diese Gruppen spielen eine Rolle in vielen Zusammenhängen - von der Zahlentheorie
und dem Beweis des Satzes von Fermat durch Wiles bis zu diversen Anwendungen in der
Kryptologie.
Im Kurs will ich die klassische Theorie behandeln, die bereits im 19. Jahrhundert
entwickelt worden ist. Dabei geht es zunächst um die Weierstraßsche -Funktion, welche
auf meromorph ist und ein Periodengitter L hat:
( )z + = ( )z für L
1 2
(L = +Z Z mit reell unabhängigen 1 2, )
und die den Körper der L-periodischen meromorphischen Funktionen, d.h. der
Funktionenkörper der elliptischen Kurve /L, erzeugt.
Gitter L lassen sich durch einen Punkt in der Halbebene repräsentieren:
L = Z 1+ Z ,
und die elliptischen Kurven über entsprechen dann dem Quotienten von nach der
Operation der Modulgruppe 2 ( )Sl = Z durch gebrochen lineare Tranformationen
( )M
az b
z
cz d

+
=
+
für 2 ( )
a b
M Sl
c d

=

Z .
Modulfunktionen sind nun meromorphe Funktionen auf , welche invariant unter sind,
allgemein hat man Modulformen f zu betrachten, welche einem Transformationsgesetz
( ( ) ( ) ( )k
Mf z cz d f z = +
genügen.
Hier entsteht eine reichhaltige Theorie mit einer Fülle von bemerkenswerten Identitäten,
die oft verblüffende arithmetische Anwendungen haben.
Literatur
R. Busam, E. Freitag: ,,Funktionentheorie", Springer 1993 ff
M. Koecher, A. Krieg: ,,Elliptische Funktionen und Modulformen", Springer 1998
D. Zagier: ,,Elliptic Modular Forms and Their Applications",
in: J.H. Bruinier et al, ,,The 1-2-3 of Modular Forms", Springer
2008.
Vorkenntnisse: Algebra I und Funktionentheorie bis zum Residuensatz.
Es kann ein Übungsschein erworben werden, auf Wunsch gibt es eine Modulprüfung.
I´ll be happy to teach the course in English, if that is what the participants desire.
Näheres bei J.Gamst
MZH 7110; gamst@math.uni-bremen.de

Informations to the Summer2014-Lecture "Elliptic Curves over C - classical theory"
Ergänzende Infos zur SoSe2014-Lehrveranstaltung "Elliptische Kurven über C: Klassische Theorie"


 



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