Andreas Loos
Dmitry
Feichtner-Kozlov kennt die Frage schon. "Was ein kombinatorisches
Problem ist?", sagt er und setzt gleich zur Antwort an: "Angenommen,
man hätte ein paar Münzen, die den Eindruck erwecken, gleich schwer zu
sein. Und man müsste herausfinden, ob sich darunter einige schwerere
oder leichtere Münzen verstecken. Man hat aber nur eine Balkenwaage, um
die Münzen zu vergleichen. Da fragt man sich doch, wie oft man
mindestens wiegen muss."
Gerade mal 32 Jahre alt ist der Russe
Feichtner-Kozlov, der als Assistenzprofessor an der Eidgenössischen
Technischen Hochschule Zürich arbeitet. Kürzlich war er zu Besuch an
der Technischen Universität (TU) Berlin, an der sich 200 Kombinatoriker
zur Tagung EuroComb 2005 trafen. Feichtner-Kozlov erhielt bei der
Tagung den mit 2 500 Euro dotierten Europäischen Kombinatorik-Preis.
Das
alte Mathematiker-Problem mit den Münzen löste Feichtner-Kozlov vor
rund zehn Jahren, als er in Stockholm promovierte. Er fand einen
Algorithmus, mit dem man zum Beispiel mit drei Mal Wiegen die
Gleichheit von zehn Münzen belegen oder widerlegen kann - bis dahin
vermutete man, mit mit einer bestimmten Anzahl "n" an Wägevorgängen
ließen sich höchstens 2n Münzen testen. Im Beispiel hätte man also nur
2 mal 2 mal 2 = 8 Münzen kontrollieren können. Feichtner-Kozlov
schaffte 2 mehr.
"Das Münzproblem war aber nur eine Nebensache",
sagt Feichtner-Kozlov. Derzeit tüftelt er an einem schwierigeren
Rätsel: Wie viele Farben braucht man, um die Orte auf einer Landkarte
so einzufärben, dass zwei Nachbarorte immer unterschiedlich gefärbt
sind? Das klingt wie Malen nach Zahlen, hat aber eine große praktische
Relevanz: "Das Problem spielt eine Rolle bei der Zuweisung von Handy-
oder Radiofrequenzen und bei Gruppeneinteilungen, bei denen bestimmte
Personen nicht miteinander in eine Gruppe kommen sollen", sagt
Feichtner-Kozlov.
Für einfache Landkarten, die platt in einer
Ebene liegen wie etwa in einem Autoatlas, sind nicht mehr als vier
Farben nötig. Das konnten Mathematiker bereits in den 1970er-Jahren mit
aufwändigen Computerberechnungen beweisen. Für manche Graphen, wie
Kombinatoriker die Verbindung von Punkten und Linien nennen, reichen
auch weniger Farben. Andere Graphen sehen viel komplizierter aus als
die ebenen Darstellungen - etwa so als wären die Straßen auf mehreren
Ebenen räumlich ineinander verwoben. In diesen Fällen sind vier Farben
nicht genug.
Feichtner-Kozlov näherte sich dem Farbenproblem auf
einem neuen Weg. Zunächst suchte er sich geeignete topologische Räume.
Darunter stellen sich Mathematiker Bausteine vor, mit denen man den
Platz in einem Zimmer anfüllen kann. Die Bausteine werden wie
Legosteine nach mathematischen Regeln zusammengesetzt. Die Regeln und
die Bausteine bilden eine bestimmte Struktur. Feichtner-Kozlov
übersetzte solche Strukturen in die Sprache der Algebra. Algebra ist
der Bereich der Mathematik, der sich mit der Struktur von Zahlen und
deren Verknüpfungen befasst. Bei seinem Versuch nutzte der Mathematiker
Entsprechungen zwischen topologischen Räumen und algebraischen
Objekten. So gelang es ihm, die Komposition seiner "Legosteine" in
Formeln und Zahlen auszudrücken. Mithilfe solcher Ausflüge in andere
Bereiche der Mathematik kann Feichtner-Kozlov nun für bestimmte Graphen
jeweils eine neue Mindestanzahl Farben angeben.
Was die
Kollegen an Feichtner-Kozlovs Lösung begeistert, ist nicht so sehr das
Ergebnis, sondern die Methode. Sie ist so, als würde ein Automechaniker
ein Auto mit Tortenheber und Suppenkelle reparieren - und hinterher
läuft der Motor wieder. Würde man diesen Vergleich auf die Spitze
treiben und die gesamte Kombinatorik mit der Kunst, Autos zu warten, in
Beziehung setzen, dann fände man in den mathematischen Instituten
hochspezialisierte Experten für Zündkabel oder das Nachfüllen von
Kühlwasser. Doch wie ein Kofferraum von innen aussieht, davon hätten
die meisten Spezialisten nur eine vage Ahnung. Zu tief stecken sie in
ihren eigenen Problemen.
"Es gibt unendlich viele Fragen, die
extrem schwer zu lösen sind", sagt der TU-Mathematiker Stefan Felsner,
der die EuroComb organisierte. Bei den Fragen komme es darauf an, sie
so zu stellen, dass sie mathematisch analysierbar werden - so wie es
etwa Feichtner-Kozlov vormacht. Er rief in Berlin unter Kollegen eine
ähnliche Begeisterung hervor wie Fußballstars bei ihren Fans. Zu denen,
die zeigen, wie elegante Pässe in der Mathematik aussehen, gehört
Laszló Lovasz von der Universität Budapest. Er hat einige mathematische
Lehrbuchklassiker verfasst und neue Rechenmethoden entdeckt. Viel
Aufmerksamkeit erregte auch Alexander Schrijver vom Centrum voor
Wiskunde en Informatica in Amsterdam. Schrijver zeigte auf der Tagung
in Berlin Verbindungen zwischen Informationstheorie und Algebra, die
bei der Fehlerkorrektur digitaler Daten - etwa von CDs - eine Rolle
spielen könnten. Schrijver wird in Kürze den mit 1,5 Millionen Euro
dotierten Spinoza-Preis erhalten, den höchsten Wissenschaftspreis der
Niederlande.
Dagegen nimmt sich Feichtner-Kozlovs Preisgeld von 2
500 Euro bescheiden aus. Was er damit anstellen wird, weiß der
russische Mathematiker schon: Er wolle Mathematikbücher kaufen, sagt er
- "oder nein, besser noch: Bücherregale."
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