Kategorientheorie

Man kann die Kategorientheorie sehen als ein Ordnungsschema, das alle mathematischen Strukturen in geeignete Klassen sammelt und sowohl die Beziehungen zwischen den einzelnen strukturierten Objekten innerhalb einer Klasse, als auch die Beziehungen dieser Klassen untereinander beschreibt. Und in der Tat ist die Theorie auch so entstanden.

Man kann allerdings auch - und das ist der hier bevorzugte Standpunkt - den Begriff der Kategorie als grundlegend betrachten und alle anderen Strukturen darauf aufbauen. In beiden Fällen muss man die "innere Struktur" der betrachteten Objekte allein durch die Beziehungen zu den anderen Objekten der Kategorie beschreiben. Beispielsweise kann man ja die einelementige Menge 1 dadurch kennzeichnen, dass es zu jeder Menge M genau eine Abbildung von M nach 1 gibt.

Die Sätze der Kategorientheorie werden also in der Sprache von Morphismen und Objekten ausgedrückt und sind damit wesentlich abstrakter als die "übliche" mengentheoretisch basierte Mathematik, was einerseits hilft den Corpus des mathematischen Wissens zu vereinheitlichen und durch die geschaffene Übersicht vieles auch erst verstehbar zu machen, andererseits der Theorie auch den mehr oder weniger ernstgemeinten Vorwurf eingebracht hat "generalized abtract non-sense" zu sein. Das sticht natülich nicht, schliesslich ist Mathematik immer Abstraktion.

Literatur:

Ad ́amek, Herrlich, Strecker: Abstract and Concrete Categories

Wikipedia: Category Theory , dort weitere Literaturhinweise