Dick werden für die Wissenschaft oder Kekse von ALDI

Bei ALDI gibt's viele leckere Dinge zum günstigen Preis. Besonders erwähnenswert sind die Schoko-Duo-Kekse mit Schokoladenüberzug von der Firma FEURICH aus Hannover.

Für 75 ct. bekommt man eine Schachtel mit 9 Keksen. Wahlweise gibt es statt eines Vollmilch-Überzugs auch einen zartbitteren.

Die Euromotive bilden hochkarätige und kulturschwangere Bauten aus Ländern Europas ab. Hier finden Sie eine Aufstellung der möglichen Euromotive:

Belgien
	Deutschland
England
	Frankreich
Italien

Wie gesagt, es sind fünf verschiedene Euromotive möglich. Es gibt selbstverständlich keine Garantie dafür, dass sich in einer Keksschachtel auch wirklich alle fünf verschiedenen Euromotive befinden. Ich habe schon Schachteln mit nur vier oder gar drei verschiedenen Euromotiven bekommen. Bei jedem Einkauf bei ALDI, der natürlich auch einige Keksschachteln beinhaltet, frage ich mich nun, wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass sich in einer beliebigen Keksschachtel fünf verschiedene Euromotive befinden. Oder wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass sich in einer beliebigen Keksschachtel nur vier oder nur drei oder zwei verschiedene oder nur ein einziges Euromotiv befindet.

Eine (mathematisch) korrekte Antwort auf diese Frage lässt sich nicht so ohne Weiteres geben. Sie ist vor allem abhängig von der Art, wie die Kekse mit den Euromotiven beim Einpacken ausgewählt werden. Der Einfachheit halber gehe ich im Folgenden davon aus, dass das Zusammenstellen der Kekse für eine Kekspackung bei der Firma FEURICH so abläuft:

Wie immer, wenn man nicht so genau weiß, wie man etwas rechnen soll, hilft es, sich die Situation mit einer Simulation zu erläutern. Dabei simuliert man das Packen von vielen Kekspackungen und sieht sich die jeweils in einer Schachtel auftretenden Anzahlen der Euromotive an. Ein brauchbares Programm für derartige Simulationen ist z.B. EXCEL. Zum besseren Verständnis davon, wie dieses Arbeitsblatt funktioniert, betrachte man die eingefügten Kommentare. Zunächst wird die Zusammenstellung einer einzigen Keksschachtel betrachtet. Dabei werden die verschiedenen Motive auf den Keksen von 1 bis 5 durchnummeriert. Das erleichtert das Zählen in EXCEL.

Und hier werden im Programm die Ergebnisse aller bislang gepackten Schachteln aufgelistet:

Zunächst benötigt man für die Ausführung der Simulation das Tabellenkalkulationsprogramm EXCEL von Microsoft. Darin muss die Datei kekse5.xls geöffnet werden.

Um nun neue Keksschachteln mit Keksen zu befüllen, braucht man eigentlich nur immer wieder die Taste F9 zu drücken. Dann wird jedesmal eine Keksschachtel mit Keksen neu zusammengestellt, die Motivanzahl wird ermittelt und zu den bereits vorhandenen Ergebnissen hinzugezählt. Allerdings kann es sein, dass dies nicht auf Anhieb funktioniert, und das hat folgenden Grund.

An einigen Stellen werden Zellen als Schleifenzähler benötigt, d.h. man setzt den Wert einer Zelle nach jeder Neuberechnung um einen vorher festgelegten Wert herauf. Meistens ist dies +1. Die Formeln, die zu solchen Zellen gehören, arbeiten mit dem Inhalt dieser Zellen. Man erhält also einen so genannten Zirkelbezug. EXCEL weist unter Umständen durch den folgenden Hinweis darauf hin.

Die Lösung des Problems ist einfach: Man geht auf Extras - Optionen - Berechnung, setzt dort ein Häkchen vor Iteration und stellt die maximale Iterationszahl auf 1.

Dann müssten die Probleme behoben sein, und mit der Taste F9 können fleißig Kekspackungen gepackt werden.

Die Betrachtung der relativen Häufigkeiten in kekse5.xls erlaubt nach vielen (mindestens 1000) gepackten Kekspackungen eine Schätzung der Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten von 1, 2, 3, 4 oder 5 verschiedenen Motiven in einer Schachtel. Wer eine ganz genaue mathematische Herleitung der Wahrscheinlichkeiten mit weiteren Zusatzinformationen wünscht, der sei auf diese Seite verwiesen.

Wie kommt es nun zu dem Titel "Dick werden für die Wissenschaft"? Schließlich nimmt doch niemand zu, wenn er das Zusammenstellen von Kekspackungen mit Hilfe von kekse5.xls bloß elektronisch simuliert. Nun, wir haben in diesem Simulationsprogramm und in der rechnerischen Herleitung eine Annahme gemacht, von der wir nicht wissen, ob sie wirklich zutrifft. Es ist die Annahme (*) weiter oben auf der Seite. Mathematisch gesprochen besagt diese Annahme, dass jedes der fünf Euro-Motive grundsätzlich mit derselben Wahrscheinlichkeit

gezogen wird. Diese Gleichverteilungsannahme (*) ist also eine Vermutung oder Hypothese. Die Gleichverteilungsannahme (*) lässt sich mit Hilfe eines sog. Hypothesentests überprüfen. Dabei werden Kekspackungen von ALDI gekauft und auf die Anzahl ihrer vorhandenen Motive hin untersucht. Natürlich genügt es nicht, nur eine oder zwei Packungen zu kaufen. Es müssen schon ein paar mehr sein. Damit erklärt sich übrigens auch das Dick werden für die Wissenschaft.

Im Prinzip funktioniert ein solcher Hypothesentest so: Es werden n Kekspackungen untersucht. Man erwartet unter diesen n Packungen etwa

Packungen mit i verschiedenen Motiven, wobei

die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von i Motiven in einer Kekspackung ist. Weichen die tatsächlichen Motivanzahlen der n untersuchten Kekspackungen von den erwarteten Motivanzahlen zu sehr ab, wird man die Gleichverteilungsannahme (*) ablehnen. Was "zu sehr abweichen" heißt, lässt sich mit dem Chi-Quadrat-Test bestimmen. Die Prüfgröße ist

Dabei ist

die ermittelte Anzahl der Kekspackungen mit i verschiedenen Motiven. Ist die Prüfgröße

zu groß, wird man von einem ungewöhnlichen Ergebnis sprechen, das nicht mit der Gleichverteilungsannahme (*) verträglich ist. Man wird dann die Gleichverteilungsannahme (*) ablehnen.

Was heißt nun "ungewöhnliches Ergebnis" und "die Prüfgröße

ist zu groß"? Untersucht man viele aus n Kekspackungen bestehende Gebinde, auf die die Gleichverteilungsannahme (*) zutrifft, so können ungewöhnliche Motivanzahlen, die von den erwarteten Motivanzahlen stark abweichen, schon mal auftreten. Je stärker diese Abweichung ist, d.h. je größer

ist, desto seltener tritt solch ein Ergebnis auf. Ist ein ermitteltes

so groß, dass es unter der Gleichverteilungsannahme (*) in weniger als 5% aller aus n Kekspackungen bestehenden Gebinde auftritt, kann man die Gleichverteilungsannahme (*) auf dem 5%-Niveau ablehnen. Das bedeutet, dass die Ablehnung der Gleichverteilungsannahme (*) in 5% aller Fälle nicht gerechtfertigt ist. Ist ein ermitteltes

noch größer, so dass es unter der Gleichverteilungsannahme (*) in weniger als 1% aller aus n Kekspackungen bestehenden Gebinde auftritt, kann man die Gleichverteilungsannahme (*) auf dem 1%-Niveau ablehnen. Das bedeutet, dass die Ablehnung der Gleichverteilungsannahme (*) in 1% aller Fälle nicht gerechtfertigt ist. In der statistischen Testpraxis arbeitet man häufig mit dem 5%-Niveau oder dem 1%-Niveau. Man lehnt eine vernünftig erscheinende Annahme wie etwa (*) ab, wenn ein Stichprobenergebnis unter Gültigkeit von (*) zu selten, d.h. mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 5% oder 1%, auftritt. Man begeht dann mit der Ablehnung von (*) einen Fehler von höchstens 5% oder 1%. In der Tabelle weiter unten ist eine Testanordnung vorgestellt, zu der sich die kritischen Chi-Quadrat-Summen von

für das 5%-Niveau sowie

für das 1%-Niveau ergeben. Hat man aus einer Stichprobe eine Chi-Quadrat-Summe von z.B. 8,354 ermittelt, so kann man die Gleichverteilungsannahme (*) auf dem 5%-Niveau ablehnen, jedoch nicht auf dem 1%-Niveau. Die Tabelle weiter unten berechnet nach Eingabe der ermittelten Motivanzahlen die Prüfgröße

und trifft eine Entscheidung darüber, ob überhaupt bzw. auf welchem (Signifikanz-)Niveau die Gleichverteilungsannahme (*) abgelehnt werden kann.

Wegen der äußerst geringen Wahrscheinlichkeiten für Keksschachteln mit nur einem oder zwei Motiven habe ich die Fälle eins, zwei oder drei Motive zu einer Klasse zusammengefasst. Der Chi-Quadrat-Test fordert in jeder betrachteten Klasse mindestens 5 erwartete Kekspackungen. Daraus ergibt sich ein Stichprobenumfang von mindestens 53 Kekspackungen (deswegen Dick werden für die Wissenschaft!). Hat man eine genügend große Stickprobe (also mindestens 53 Kekspackungen) untersucht, kann man die ermittelten Motivanzahlen in die grauen Zellen der Tabelle eintragen, in denen im Moment die Zahlen 20, 93 und 81 stehen. Daraufhin wird die Chi-Quadrat-Summe ermittelt, und es wird geprüft, ob die Gleichverteilungsannahme (*) auf dem 5%- oder 1%-Niveau abgelehnt werden kann. Sollte die Tabelle nicht funktionieren, weil z.B. nicht mit dem Internet Explorer gesurft wird, steht hier die Tabelle auch noch als EXCEL-Datei zur Verfügung.

Nun suche ich viele enthusiastische Mitesser (gemeint sind nicht die Hautunreinheiten, sondern Keksliebhaber), die bereit sind, für einen wissenschaftlichen Hypothesentest auf eine mehr oder weniger schlanke Figur zu verzichten. Teilen Sie mir doch die Ergebnisse aus Ihrem Selbstversuch mit. Neben Ihren ermittelten Häufigkeiten der Motivanzahlen interessiert mich auch der Einkaufsort der Kekse. Übrigens bin ich, wie Sie sehen können, gerade selbst dabei, einen Hypothesentest mit Keksen von ALDI durchzuführen...

Ein besonderer Dank gilt übrigens meiner Kollegin Frau Dr. Heidi Christiansen vom Alten Gymnasium in Bremen, die die Berichte über mein Projekt so tapfer ertragen hat. Sie hat sogar selbst beim Dick werden für die Wissenschaft mitgeholfen...

ALDI-Fanpages

	http://www.koever.com/aldi/
	http://ourworld.compuserve.com/homepages/Alexander_Behrend/aldi.htm
	http://www.pcent.de/aldifan/

Aus juristischen Gründen muss ich noch etwas erklären. Und zwar den folgenden Haftungsausschluss:

Ich erkläre hiermit ausdrücklich, dass zum Zeitpunkt der Linksetzung keine illegalen Inhalte auf den zu verlinkenden Seiten erkennbar waren. Auf die aktuelle und zukünftige Gestaltung, die Inhalte oder die Urheberschaft der verlinkten/verknüpften Seiten habe ich keinerlei Einfluss. Deshalb distanziere ich mich hiermit ausdrücklich von allen Inhalten aller verlinkten /verknüpften Seiten, die nach der Linksetzung verändert wurden. Diese Feststellung gilt für alle innerhalb des eigenen Internetangebotes gesetzten Links und Verweise sowie für Fremdeinträge in von mir eingerichteten Gästebüchern, Diskussionsforen, Linkverzeichnissen, Mailinglisten und in allen anderen Formen von Datenbanken, auf deren Inhalt externe Schreibzugriffe möglich sind. Für illegale, fehlerhafte oder unvollständige Inhalte und insbesondere für Schäden, die aus der Nutzung oder Nichtnutzung solcherart dargebotener Informationen entstehen, haftet allein der Anbieter der Seite, auf welche verwiesen wurde, nicht derjenige, der über Links auf die jeweilige Veröffentlichung lediglich verweist.