Bei der Abstandsbestimmung von Geraden  

geht es darum, diejenigen Punkte P und Q der beiden Geraden zu finden, deren Entfernung minimal ist. Diese beiden Punkte werden mit Hilfe der Linearen Algebra oder der Analysis auf verschiedene Arten bestimmt.

Die Mittel der Linearen Algebra sind zwar elegant, haben jedoch den entscheidenden Nachteil, dass sich nur den Abstand, nicht aber die zugehörigen Punkte auf den Geraden ermitteln lassen. 

Mit den Mitteln der Analysis lässt sich das Abstandsquadrat dieser Punkte P und Q in Abhängigkeit der Parameter r und s bestimmen. Das Abstandsquadrat ist also eine zweistellige Funktion. Ihr Minimum erhält man in der schulischen Praxis schrittweise, indem man zunächst z.B. s fest (konstant) hält und das zugehörige minimale r sucht. Man erhält damit einen quadratischen Funktionsterm mit der zunächst festgehaltenen Variablen s, für den man dann wieder das Minimum bestimmt.

Das Problem lässt sich auch numerisch mit Hilfe des Tabellenkalkulationsprogramms EXCEL angehen. Dort wird das Abstandsquadrat für verschiedene Werte von r und s berechnet. Auf dem abgebildeten Rechenblatt ist eine Tabelle zu sehen, in der zu verschiedenen Werten von r und s die Werte des Abstandsquadrats berechnet werden. Über der Tabelle stehen stehen die Komponenten der Parameterdarstellungen der Geraden g und h, ein "aktueller" Wert für r und s sowie die Koordinaten der zugehörigen Punkte P und Q. Innerhalb der Tabelle wird das Feld mit dem minimalen Wert durch Färbung des Felds hervorgehoben, sodass man nicht suchen muss. Die Randwerte der Tabelle sind so definiert, dass sie insgesamt 17 verschiedene Werte für r und s enthalten: Ausgehend von einem "aktuellen" Wert für r und s sind (willkürlich) je 8 Schritte einer einzugebenden Schrittweite nach oben und unten abgetragen.

An der zugehörigen Grafik ist die zweifach-quadratische Abhängigkeit von r und s gut zu erkennen: Für konstantes s durchläuft das Abstandsquadrat die Werte einer quadratischen Funktion. Analoges gilt für konstantes r.

Durch systematisches Variieren von r und s sowie durch sukzessives Reduzieren der Schrittweite lässt sich nach und nach das gesuchte Minimum ermitteln. Dabei kann das Betrachten der 3-D-Grafik helfen.

Um den Vergleich zum Vorgehen in der Linearen Algebra zu zeigen, habe ich in derselben Arbeitsmappe noch vier weitere Arbeitsblätter untergebracht, die das Abstandsquadrat mit den Mitteln der Linearen Algebra berechnen. Jedes dieser vier Arbeitsblätter betrachtet einen der möglichen vier Fälle, die bei der Abstandsbestimmung auftreten können. Diejenigen Arbeitsblätter, die nicht den gerade vorliegenden Fall betrachten (können), geben als Ausgabe für das Abstandsquadrat "Kein Ergebnis!" zurück.

Alle Zellen, die nicht unbedingt geändert werden sollten, habe ich aus Sicherheitsgründen mit einem Zellschutz versehen. Dieser lässt sich aber selbstverständlich auf Wunsch und ohne Passwort deaktivieren.

Die Idee zu dieser EXCEL-Datei lieferte übrigens ein Beitrag in Praxis der Mathematik in der Schule, Heft 2/2003, von Heinz Klaus Strick, Leverkusen.

Viel Spaß beim Ausprobieren mit geradenabstand.xls !

© 2003 by Steffen Hahn